絶対値とは?その考え方をわかりやすく例を交えて解説!

勉強のコツ

2022.07.15

認定プロ教師

こんにちは!家庭教師のファミリーです。

 

中学の数学では正の数(プラス)・負の数(マイナス)とともに、絶対値について勉強します。

高校に入ってくるとさらに詳しく学習することになり、計算問題でも用いられるため、基本をしっかり押さえておくことが重要です。

 

絶対値は、普通の数字とは扱いが少し違いますが、決して難しいものではありません。

基本の考え方さえ理解しておけば、絶対値の問題は比較的簡単に解くことができます。

 

今回はそんな絶対値について、わかりやすく解説します!

絶対値を理解したら、最後にご紹介する計算問題にもチャレンジしてみてくださいね。

 

 

 

 

絶対値とは?わかりやすく解説!

まずは、絶対値とは何なのかという基本の考え方について説明していきます。

 

 

 

絶対値の基本的な考え方

絶対値について学ぶには、まず「数直線」をイメージするところから始めましょう。

 

数直線とは、直線上に目盛りを付け、その目盛りごとに数字をふったものを指します。

定規をイメージするとわかりやすいですね。

 

ただし、普段使う定規は一番左が0の目盛りになりますが、絶対値について学ぶ時の数直線は、0の目盛りを直線の真ん中に置くことが多いです。

真ん中を0とすれば、そこから右をプラスの数字、左をマイナスの数字として表すことができ、正の数・負の数両方の絶対値を理解しやすくなるからです。

 

では、この数直線をイメージしながら、絶対値とはどのようなものか考えていきましょう。

 

 

絶対値とは数直線上の原点からの距離を表す値のこと

絶対値は「距離」を表すというのが、大きな特徴です。

 

先ほどの数直線で説明すると、0の目盛りを原点と考え、「0からの距離を表す値」と捉えるとわかりやすいと思います。

 

例えば、「2」と「-2」という2つの数字があったとします。

 

2は、数直線上の原点0から右(プラス方向)に2離れた数字なので、0からの距離は2。

つまり、絶対値は2です。

 

一方の-2は、数直線上の原点0から左(マイナス方向)に2離れた数字であり、こちらも絶対値は2になります。

 

絶対値は、「 | 」という記号2つを用いて数字を挟んで表します。

この記号を使って、先ほどの例を数式で表してみましょう。

 

|2| = 2(意味:2の絶対値は2)

|-2| = 2(意味:-2の絶対値は2)

 

+と-の方向は絶対値では問われず、あくまで原点からの距離で考えます。

これが、絶対値の基本的な考え方です。

 

この基本を踏まえたうえで、次でご紹介する性質についても理解すると、問題を解きやすくなります。

 

 

 

絶対値が持つ性質

全ての絶対値には、次のような性質があります。

 

  • ・負の数にはならない
  • ・0の絶対値は0
  • ・結合や分配ができる

 

順に説明していきましょう。

 

 

負の数にはならない

先ほどもご紹介したように、絶対値は0からの距離を表す値です。

数直線をイメージすればわかるように、正の数であっても負の数であっても、その数字と0との間には距離があり、その距離がマイナスであるということはあり得ませんよね。

 

そのため、絶対値が負の数(マイナス)になることはありません。

 

 

0の絶対値は0

絶対値は0からの距離を表す値です。

0の場合、0との距離は0です。

 

そのため、0の絶対値は0になります。

 

 

結合や分配ができる

絶対値の記号がついた数字は、絶対値の記号の中で結合させたり分けたりすることができます。

 

例:|a||b|=|a×b|

例:2|a+b|=|2a+2b|

 

結合・分配をした方がいいか、そのまま計算した方がいいかは数式によって違いますが、絶対値の性質として覚えておきましょう。

 

 

 

 

絶対値の「記号の外し方」とは?

実際の計算問題では、1つの数式に普通の数字と絶対値の記号が付いた数字が混ざった状態で出てきます。

 

絶対値の記号が付いた数字が式の中にあると、そのまま他の数字と足したり掛けたりすることができるのか悩みますよね。

計算する際に、まず必要になるのは「絶対値の記号を外す作業」です。

 

絶対値の記号を外すことは、絶対値を求めることと同じです。

その方法は簡単で、時間もかかりません。

 

「プラスの場合はそのまま絶対値の記号を外し、マイナスの場合はマイナスを取ってから絶対値の記号を外す」だけでOKです。

 

例えば、|25| の場合は数字に符号が付いていないので、そのまま記号を外して25と表すことができます(|25|=25)。

|-12| の場合であれば、マイナスの符号を取ってから記号を外し、12と表すことができます(|-12|=12)。

 

また、実際に問題を解く際に「足し算・引き算」に関しては記号を外しますが、「掛け算・割り算」は記号の中に結合させて計算し、答において外す形にするとスムーズです。

絶対値の2乗に関しても、2乗することで負の数は正の数になるため、記号を外せます。

 

 

 

 

絶対値に関する計算例を具体的にチェック

ここまでの内容を踏まえ、絶対値に関する簡単な計算問題を参考にご紹介します。

 

次の問いおよび数式の答えを求めてみましょう。

 

  1. 6、-23、0の絶対値を求めよ
  2. 絶対値が15になる全ての数字を求めよ
  3. 次の数式の値を求めよ

(1)|-3|+|2|

(2)|-9|-|7|

(3)|-6|×|11|

 

わからなくなったら、ここまででご紹介した絶対値の基本や性質、記号の外し方を見直してみてください。

 

では、1つずつ解説していきます!

 

 

 

【①解答と解説】6、-23、0の絶対値を求めよ

数直線を思い浮かべると、6は0から6離れています。

よって、6の絶対値は6です。

 

-23は0から23離れているので、-23の絶対値は23。

0と0の距離は0なので、0の絶対値は0です。

 

まとめると、解答はそれぞれ|6|=6 、|-23|=23、|0|=0となります。

 

 

 

【②解答と解説】絶対値が15になる全ての数字を求めよ

1も-1も絶対値は1となるのと同じで、絶対値が15になる数字、つまり0との距離が15の数字は、プラス方向にもマイナス方向にも存在しますよね。

よって、絶対値が15になる数字は、15と-15の2つがあることになります。

 

 

 

【③解答と解説】次の数式の値を求めよ

それぞれの数式は、次のような流れで解くことができます。

 

(1) |-3|+|2|
=3+2
=5

 

(2)|-9|-|7|
=9-7
=2

 

(3)|-6|×|11|
=|-6×11|
=|-66|
=66

 

 

 

 

絶対値とは、わかりやすく言うと「0からの距離を表す値」

絶対値とは「数直線上の原点からの距離を表す値」です。

数学での原点は0なので、「0からの距離を表す値」とも言えます。

 

絶対値にはいくつか性質がありますが、その中でも重要なのが、絶対値は必ず正の数(プラス)になるということ。

 

これは、絶対値の記号を外す時の重要なポイントになるので、必ず押さえておいてくださいね。

 

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著者認定プロ教師

大学生の家庭教師が主流の中、顧客からのより専門的で高度な要求に応えるため、教師のプロフェッショナルとして、質の高い授業を提供。

常にハイレベルな授業を提供できるように、日々指導法や教材の研究等を行い、また、大学生や一般の家庭教師に対して研修や授業のアドバイスを行うことで、ファミリー全体の授業スキルの向上を図っています。

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