数学の平方根とは？ルートや考え方、求め方を簡単に解説！

こんにちは！家庭教師のファミリーです。

 

中学生の数学には、小学生の算数にはなかった記号や考え方がたくさん出てきます。

そのひとつが、平方根です。

 

平方根という聞きなれない名前や、ルートという見慣れない記号に、戸惑う方もいるかもしれませんね。

 

しかし、心配はいりません！

平方根の問題は、基本の意味や扱い方をしっかり理解しておけば、必ず解けるようになりますよ！

 

今回は平方根とはどのようなものなのか、基本の意味と扱い方についてわかりやすく解説していきます。

 

 

 

 

平方根とは？わかりやすく解説！

まずは、平方根とはどんなものなのか確認していきましょう。

 

 

 

平方根の基本的な考え方

平方根の平方は2乗（同じ数字を2回掛ける）のことを指し、根はその「根っこ」である2乗のもとの数を指します。

 

つまり、平方根とは2乗するとaになる数字のことです。

 

ある数字xを2回掛けた数字がaになる場合、「aの平方根はx」と表すことができます。

 

ただ、このように言葉だけで聞くとイメージしにくいですよね。

そこで、簡単な例を挙げてみましょう。

 

 

 

平方根の例

Q：4の平方根は？

2乗すると4になる数字は、2または-2（2×2=4、-2×-2=4）

→つまり、4の平方根は±2

 

数字で見ると、少しイメージしやすくなったのではないでしょうか。

 

また、0の平方根の場合は0、2乗でマイナスの数字になることはないので平方根に負の数は存在しないことも、基本として覚えておきましょう。

 

 

 

平方根のさらにわかりやすい考え方

平方根をわかりやすく考えるには「平方根を正方形で考えること」がカギです。

 

4辺の長さが同じ四角形である正方形をイメージしてみてください。

この正方形は「面積=1辺の長さ×1辺の長さ」で求められますよね。

 

これをもとに、平方根を考えてみましょう。

 

このときに守りたいルールは、次の2つ。

 

①「平方根=正方形の1辺の長さ」とする

②「2乗（先程定義でご紹介したa）=正方形の面積」とする

 

つまり、「平方根を求めなさい」と言われれば正方形の1辺の長さを求め、「2乗した数を求めなさい」と言われれば正方形の面積を求めれば良いのです。

先程挙げた例に当てはめてみましょう。

 

Q：4の平方根は？

→正方形で考えるなら、この問題は「面積が4の正方形の1辺の長さは？」と同じ意味

→面積が4の正方形を思い浮かべ、その1辺の長さを求める

→面積が4になるのは、1辺が2の正方形

→つまり、4の平方根は±2（※負の数も忘れない）

 

正方形の面積aは、1辺の長さxの2乗で表すことができます（a=x²）。

このとき、「正方形の1辺の長さxは面積aの平方根」だと言い換えられます。

 

このように、平方根を求める時には、一度問題を正方形の1辺の長さと面積に置き換えてみてください。

これにより、平方根はイメージしやすくなります。

 

 

 

 

平方根の「ルート（√）」とは？

ここまで読んで、「平方根の意味についてはわかったけど、求め方がわからない」「平方根が簡単な整数になる場合しか解けない」と思った方もいるかもしれません。

 

aの平方根（x）を求めるために「a=x²」の計算式を解こうとしても、簡単な数字でなければ難しいですよね。

 

例えば、「4の平方根は±2」とすぐわかっても、「7の平方根は？」と聞かれると答えにくいでしょう。

 

このような場合に役立つのが「ルート（√）」です。

ルート（√）とは、平方根の記号のことで、英語ではroot、日本語では根号とも呼ばれます。

 

先ほど挙げた7の平方根は、整数やわかりやすい小数では表すことができません。2.6457513110645907…と小数点以下の数字が続いて、割り切ることができないのです（無理数）。

 

そんな場合には、ルート（√）を使います。

ルートを使うと、7の平方根は次のように表すことができます。

 

「7の平方根= ±√7」

 

つまり、「2乗するとaになる数（面積aの正方形の1辺の長さ）」は、「±√a」と表すことができるのです。

 

 

 

ルートを外して簡単にする方法も覚えよう

平方根に関する問題ではルートを外した数を求めるものや、大きな数の計算ではルートを外して簡単な数にしてから求めるものもあります。

 

そのため、ルートの外し方も基本として覚えておきましょう。

 

例えば、√9という数字が計算式の中にあったとします。

このままでは、他の数字との計算はしにくいですよね。

 

そこで行うのが、「ルートを外すこと」です。

平方根では、√の中の2乗を外すと、√も外すことができます。

 

√9とは、2乗すると9になる数字のこと。

つまり、√9=√3² =3。

√9は、ルートを外した3と同じ意味になります。

 

これを式で表すと、「√a²=a」となります。

 

【例】

・√4=√2²=2

・√16= √4²=4

 

ただし単純に2乗にならない大きな数字の場合は、下記の例のように√の中の数字を分解（素因数分解）して2乗の数字を作り、それを√の外に出します。

 

・√12= √2²×3=2√3

 

例えば√24×√18のように大きな平方根同士の計算の場合、このように簡単な数にしてから計算をします。

 

√24は√2²×2×3となるため2√6、√18は√3²×2となるため3√2になり、2√6×3√2は整数部分計算「2×3」を掛けて6、ルートの中は「√6×2」として12で「6√12」が答えとなります。

 

 

 

暗記しておきたい平方根

整数やわかりやすい小数では表すことができない平方根は、ルート（√）で表すとご紹介しました。

 

そのような数字の平方根の近似値について、一般的に覚えておいた方が良いといわれるものもお伝えします。

問題に出ることは少ないですが、私立高校の入試問題では使われることもあるようです。

 

基本として覚えておきたいのは、次の3つ。

 

・√2≒1.41421356

（語呂：ひとよひとよにひとみごろ・一夜一夜に人見頃）

 

・√3≒1.7320508

（語呂：ひとなみにおごれや・人並みにおごれや）

 

・√5≒2.2360679

（語呂：ふじさんろくおうむなく・富士山麓オウム鳴く）

 

記載した語呂合わせで覚えると覚えやすいですね。

 

 

 

 

平方根の求め方を具体的にチェック

最後に、ここまでご説明した内容を参考に、平方根の問題を解いてみましょう。

 

1.次の平方根を求めよ（※ a>0、b>0、x>0）

①144

②13

③x

④5²

⑤a²b

 

2.次の数を求めよ

① √36

② -√25

③ √4²

④√2×√3

⑤√12×√2

 

【解説】

①144=12²
→ ±12

②±√13

③±√x

④5²=25
→ ±5

⑤a²b=√a²b
→ a√b

 

①√36=√6²=6

② -√25=-√5²=-5

③√4²=4

④√2×3=√6

⑤√12=√2×2×3=2√3
→2√3×√2=2√6

 

 

 

 

平方根とは簡単に言えば2乗してaになる値のこと！正方形をイメージしても◎

平方根の平方は2乗のことを指し、根はその「根っこ」である2乗のもとの数を指します。

つまり、2乗するとaになる数字のことを平方根と呼びます。

 

例えば、4の平方根は±2と表します。

 

平方根を求める際には正方形を思い浮かべて、面積=a、1辺の長さ=平方根として考えると良いでしょう。

 

また、平方根には整数やわかりやすい小数で割り切れない無理数のものがあります。

そのような場合には、ルート（√）という記号を用いることで、簡単に平方根を表すことができます。

例えば7の平方根は√7と表せば、問題ありません。

 

計算の際には√を外す作業が必要になることもありますが、平方根と2乗が対になる作業であることを踏まえると、√は外しやすいでしょう。

 

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